Partie A - Étude du rectangle d'or

Soit $\text{ABCD}$ un rectangle, non aplati, de longueur  $L$ et largeur $\ell$ .
Soit $\text{EBCF}$ le rectangle obtenu en retirant le carré de coté  $\text{[AD]}$ (voir figure ci-dessous).

On dit que $\text{ABCD}$ est un rectangle d’or si on a $\frac{\text{AB}}{\text{AD}}=\frac{\text{BC}}{\text{FC}}$ .

1. Démontrer que si $\text{ABCD}$ est un rectangle d’or alors on a   ${\displaystyle \frac{L}{\ell }}={\displaystyle \frac{\ell }{L-\ell }}$ .
2. Soit $x={\displaystyle \frac{L}{\ell }}$ . Démontrer que l’égalité établie à la question précédente est équivalente à   $x^2-x-1=0$ . On obtient donc une équation du second degré.

3. Résoudre l'équation précédente. La solution positive de cette équation s’appelle nombre d’or et on l’indique souvent avec la lettre grecque $\varphi$ . Donner la valeur exacte de  $\varphi$ puis une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près.